பரிதாபத்திற்குரிய கணிதமேதை

 

எவாரிஸ்ட்  கலாய்ஸ்

 

பரிதாபத்திற்குரிய அந்தக் கணிதமேதை தான் இறக்கப்போகும் நாளைக்கு முதல்நாள் இரவில் ஒரே மூச்சில் எழுதி முடித்ததைத்தான் இன்று நாம் GROUP THEORY என்று படிக்கிறோம். 

கணினி செயல்பாடுகளுக்கு அடிப்படையாக அமையும் இந்த குலங்களைப் (GROUP ANALYSIS) பயன்படுத்தியே ஆல்பர்ட் ஐன்ஸ்டீன் ஒளி மின் விளைவை விளக்க முடிந்தது.  

பிரான்ஸ் நாட்டில் பிறந்த அந்தக் கணிதமேதை எவரிஸ்ட் காலாய்ஸ்  (Evariste Galois).

    அக்டோபர் 25, 1811 ஆம் ஆண்டு பிரான்ஸ்  நாட்டின் பாரிசில் பிறந்து  தன்னுடைய 19வது வயதிலேயே கணிதத்தில்  ஒரு மாபெரும் சாதனையைச் செய்தவர். 

பல்லுறுப்புச் சமன்பாட்டை (POLYNOMIAL EQUATION) விடுவிப்பதற்கு துல்லியமான இயற்கணித நிபந்தனைகளைக் கண்டுபிடித்து இருபதாவது நூற்றாண்டின் சில கணிதத் துறைகளுக்கு  19 வது நூற்றாண்டின் முதல் பாதியிலேயே அடிகோலியவர். 

 ஆனால் பரிதாபமாக அரசியல் சூறாவளியிலும் தன்னை ஈடுபடுத்திக்கொண்டு, 21 வயதிலேயே உயிர் துறந்தார். அவர் விட்டுவிட்டுப்போன 60-பக்க கணிதச் சொத்து விலைமதிப்பற்றது.

    காலாய்ஸ் 12 வயது வரையில் தன்னுடைய அன்னையிடமே இலக்கியங்களில் பழமைச் சிறப்பு பெற்ற நூல்களைப் படித்து வந்தார். 1823 இல் 12வது வயதில் பாரிஸ் நகரத்தில் லூயி லே கிராண்ட் என்ற பள்ளியில் சேர்ந்தார். பிரான்ஸ் நாட்டு மக்கள் அப்பொழுதும் புரட்சி நாட்களை மறக்கவில்லை. காலாய்ஸ் தான் காதால் கேள்விப்பட்ட அடாவடிச் செயல்களையெல்லாம் நேரில் பார்க்க ஆரம்பித்தார். 

    காலாய்ஸின் கவனம் கணிதத்தில் திரும்பியது. ஆனால் பள்ளியிலோ கணிதத்திற்கு எந்த முக்கியத்துவமும் கொடுக்கப்படவில்லை. இருந்தாலும் லெஜாண்டரின் வடிவியலை (Legendre's Elements of Geometry) இச்சிறுவன்  அனாயாசமாகப் படித்து முடித்தான். அவனுக்கு பள்ளியில் கிடைத்த இயற்கணித புத்தகத்திலோ அவனுடைய கூர்மையான மூளைக்கு சவாலாக ஒன்றுமே இல்லை. லெஜாண்டரைக் கரைத்துக் குடித்தவன், லக்ராஞ்ஜையும் (Lagrange) , ஏபெல்லையும்(Henrik Abel)  ஏதோ நாவலைப் படிப்பதுபோல படித்து முடித்தான். 14 வயதே ஆன இச்சிறு பையன் கணிதவல்லுனர்களுக்காக இன்னும் பெரிய வல்லுனர்கள் எழுதியதை விழுங்கி சீரணித்துக்கொண்டிருந்தான்.

    Theory of analytic functions, Calculus of functions இவையெல்லாம் அவனை வெகுவாக ஈர்த்தன. மனதிலேயே அவன் பெரிய பெரிய கணக்குகளைப் போடக்கூடியவன். ஆசிரியர்கள் தேர்வுகளில் கேட்கும் கணக்குகளெல்லாம் அவனுக்கு எளிமையாகத் தெரிந்தன. கணிதத்தில் என்னென்ன பரிசுகள் உண்டோ அத்தனையும் அவனுக்குத்தான்.

 முதல் ஆய்வுக்கட்டுரை 

17 வது வயதில் 'ரிச்சர்ட்' என்ற கணித ஆசிரியர் அவனுடைய கணிதத்திறமையை நன்கு உணர்ந்து ஊக்கப்படுத்தி அவனை வகுப்பிலும் பள்ளியிலும் உயர்த்திப்பேசினார். அவருடைய ஊக்குவிப்பினால் மற்றவர்கள் அவனை வெறும் கெட்டிக்காரனாக மட்டும் பார்க்காமல், பெரிய கணித மேதையாகவும் பார்க்கத் தொடங்கினர். 1829, மார்ச் 1 ம் தேதி அவனுடைய  தொடரும் பின்னங்களைப் பற்றிய ஆய்வுக்கட்டுரை வெளியிடப்பட்டது. உண்மையில் அவன் ஏற்கனவே ஒரு கணிதவியலர் ஆகிவிட்டிருந்தான். மற்றவர்களுக்குத்தான் அது புரியவில்லை.

 

தோல்விமேல் தோல்வி

16 வது வயதில் எகோல் பாலிடெக்னிக் என்ற சிறந்த ஆய்வுக்கூடக் கல்லூரியில் சேர்வதற்காக தேர்வு எழுதினான்.  இக்கல்லூரிதான் பிரெஞ்சுப் புரட்சிகாலத்தில் ஆரம்பிக்கப்பட்டு பிற்காலத்தில் அத்தனை பிரென்சு நாட்டு கணித அறிவியலர்களையெல்லாம் உற்பத்தி செய்து உலகத்துக்கு அளித்தது. ஆனால் காலாய்ஸ் அத்தேர்வில் தோல்வியடைந்தான். 18வது வயதில் அதே தேர்வுக்கு மறுபடியும் தயாரானான். அவனுடைய அறிவுக்கு கொஞ்சமும் பொருத்தமில்லாத கணித ஆசிரியர்களெல்லாம் அவனுடைய தேர்வுத் தாள்களை மதிப்பிட்டு அவனை மறுபடியும் தோல்வியடையச் செய்தனர். அந்தத் தேர்வில்தான் அவனுடைய விதி தீர்மானிக்கப்பட்டது. எல்லாவற்றையும் மனதிலேயே கணிக்கக்கூடிய அவனுக்கு, தன்னை நேர்முகத்தேர்வு நடத்திய ஆசிரியர்களின் கணித இயலாமையையும் அவர்களுடைய பிடிவாதத்தையும் நேருக்குநேர் பார்த்து கோபத்தால், கையிலிருந்த சாக்கட்டியை அவர்கள்மேல் தூக்கியெறிந்து  இருந்த கொஞ்சநஞ்சம் வாய்ப்பையும் இழந்தான்.

 

இச்சமயம் தான் அவனுடைய தந்தையார் ஒரு அரசியல் புகார் காரணமாகத் தற்கொலை செய்துவிட்டிருந்தார். 1827 இல் அவர் ஒரு மேயராக இருந்தார். அரசியல் காரணமாக அவரை ஒரு அவதூறில் சிக்கவைத்து கடைசியில் அவர் தற்கொலை செய்துகொள்ளும்படியான சூழ்நிலையை உண்டாக்கிவிட்டனர். இதெல்லாம் சேர்ந்து காலாய்ஸுக்கு உலகத்தின் மேல் வெறுப்பேற்படும்படிச் செய்துவிட்டது.

 

 பிரெஞ்சு அகாடெமி

கோஷி  என்ற அக்காலத்தின் மிகப்பெரிய கணித வல்லுனர் பிரெஞ்சு அகாடெமிக்காக  காலாய்ஸினுடைய ஆய்வுகளை தரம் பார்த்து மதிப்பிடவேண்டியவர். இதற்காக காலாய்ஸ் தான் அதுவரை கண்டுபிடித்ததையெல்லாம் திரட்டி அகாடெமிக்கு அனுப்பியிருந்தான். அவனுடைய துரதிர்ஷ்டம் அவர் அவனுடைய ஆய்வுக்கட்டுரைகளைத் தொலைத்துவிட்டார்.

ஒருவழியாக 1829 ஆம்  ஆண்டு  டிசம்பர் 29 இல் அவனை பல்கலைக்கழகம் ஏற்றுக்கொண்டது. ஆனால் அவன் தனிமையிலேயே உழைக்க வேண்டியிருந்தது. மூன்று ஆய்வுக்கட்டுரைகள் எழுதி பிரென்சு அகடெமிக்கு அனுப்பினான். இயற்கணிதச் சமன்பாடுகளைப்பற்றிய மிக உயர்ந்த ஆய்வுகள் அவை. இதை அவன் அனுப்பியிருந்தது 'கணிதத்தில் சிறந்த பரிசு' ஒன்றுக்காக. கலாய்ஸின் துரதிஷ்டம் அவனை விடாமல் துரத்தியது. அகடெமியின் செயலர் ஃபொரியர்  அக்கட்டுரைகளை தன் வீட்டுக்கு எடுத்துச்சென்றார், ஆனால் கட்டுரைகளைப்பார்ப்பதற்குள் அவர் இறந்துவிட்டார். அவருடைய காகிதங்களைத் தேடினார்கள். காலாய்ஸினுடைய கட்டுரைகள் உரிய காலத்தில் கிடைக்கவேயில்லை!

காலாய்ஸ் வாழ்க்கையையே வெறுத்து, அரசியலில் முழுமூச்சுடன் இறங்கினான். பல்கலைக்ககழக வாழ்க்கை அத்துடன் முடிந்தது.

வகுப்புக்கு வருவார் யாருமில்லை.

    Higher Algebra  இயற்கணிதத்தில் சொந்தத்தில் ஒரு வகுப்பு நடத்தினான். ஒரு 19 வயது இளைஞன் COMPLEX NUMBERS பற்றிய ஒரு புதுக்கோட்பாட்டையும், சமன்பாட்டுகளை விடுவிக்க புதுப்புது வழிகள்,NUMBER THEORY,ELLIPTIC FUNCTIONS இவைகளைப் பற்றியும் தான் சொந்தமாகக் கண்டுபிடித்ததையும் சொல்லிக்கொடுக்க வகுப்பு நடத்துகிறான். ஆனால் வகுப்புக்கு வருவார் யாருமில்லை.

காலாய்ஸ் கோட்பாடு

ஒரு கடைசி முயற்சியாக அகெடெமிக்கு ஒரு பெரிய ஆய்வுநூலை (தற்காலத்தில்  கால்வா கோட்பாடு  என்று புகழ்பெற்றது) அனுப்பிவைத்தான். அதைப்படித்து தரம் பார்க்கும் பொறுப்பு பாய்சான்(POISSON- POISSON DISTRIBUTION  பாய்சான் பரவலைப் பற்றிப் படித்திருப்பீர்கள்- அவர் தான் ) என்ற கணிதவியலரிடம் சென்றது. அவர் அதை எவ்வளவு ஆழ்ந்து படித்தாரோ தெரியாது. அவருடைய விமரிசனத்தில்  'இது ஒன்றும் புரிகிறமாதிரி இல்லை' என்று எழுதிவிட்டார்.

 அரசியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள்

மே 9, 1831 ஒரு முறையும், ஜூலை 14, 1831 இல் மற்றொரு முறையும் கைது செய்யப்பட்டான். 1789, 1793 புரட்சிகளின் ஞாபகார்த்தமாக நடந்த ஒரு விழாவில் அவன் கையில் கத்தியுடன் அரசரைக் கொல்வதாக சப்தம் எடுத்துக்கொண்டதாக முதன் முறை கைது செய்யப்பட்டு பின்னால் விடுவிக்கப்பட்டான். இரண்டாவது முறை காரணமே இல்லாமல் அவனைக் கைது செய்து இரண்டு மாதம் சிறையில் வைத்திருந்து, விட்டனர். ஆனால் மே 29, 1832 அன்று இரவு எல்லா குடியரசுவாதிகளுக்கு எழுதிய கடிதத்தில் எல்லோரிடமிருந்தும் விடைபெறுவது போல் எழுதியிருக்கிறான். தான் யாரோ இரண்டு நபருடன் கத்திச்சண்டை போடவேண்டிய நிலையில் இருப்பதாக  எழுதியிருக்கிறான்.                  

 கணித உயில் :

அன்று சிறையில் நடந்தது என்ன என்று மிகச்சரியாகக் கூறமுடியவில்லை. சில வரலாற்று ஆய்வாளர்கள் அது ஒரு சதி என்கின்றனர். எது எப்படியோ அன்றைய இரவு மணிக்கணக்காக அமர்ந்து தனது கண்டுபிடிப்புகள் அனைத்தையும் தொகுத்து 60 பக்கக் கட்டுரையாக எழுதினார். அது பத்திரமாக தனது நண்பரிடம் போய்ச் சேர்வதற்கான ஏற்பாட்டையும் செய்திருந்தார்.

‘காலோயிஸ் கணித உயில்’ என அழைக்கப்படும் இந்த குறிப்புகளை எழுதிய அடுத்த நாள் காலை...காலாய்ஸ் எது நடந்துவிடக்கூடாது என்று நினைத்தாரோ அதுவே நடந்தது.

ஆம் குதிரையின் மீதமர்ந்த நிலையிலேயே கயவன் ஒருவனால் குத்திக்கொல்லப்பட்டான் இருபத்து ஓரு வயதே நிரம்பிய, சபிக்கப்பட்ட ஜீவன்.

 ஒரு 60-பக்கக்கட்டுரையாக எழுதி கணித உலகத்துக்கு தன் உயிலையே எழுதி வைத்தான் கலாய்ஸ்.

14 ஆண்டுகளுக்குப்பிறகு, லியொவில்   journal de mathematique pure et appliques என்ற ஆய்வுப்பத்திரிகையில், இதை பிரசுரிக்கும்போது எழுதுகிறார்:

 "இதை ஏற்கனவே அகெடெமியில் பிரசுரிக்காமல் விட்டதற்குக்காரணம் ஒருவேளை காலாய்ஸினுடைய சுருக்க நடையினால் ஏற்பட்ட குழப்பமாகத் தான் இருக்கவேண்டும்".(எவ்வளவு பொறுப்பில்லாத பதில்?) 

"இயற்கணிதப் பல்லுறுப்புச் சமன்பாடு ஒன்றினுடைய காலாய்ஸ் குலம் தீர்வுடைய குலமாக   இருந்தால்தான், அதற்கு radicals solution   கிடைக்கும்."

(An equation could be solved in radicals if one can find a series of subgroups of its Galois group, each one normal in its successor with abelian quotient, or its Galois group is solvable.)

காலோயிஸின் கண்டுபிடிப்புகள் 14 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு பிரசுரிக்கப்பட்டு கணித உலகில் பரபரப்பை ஏற்படுத்தின.

20-ம் நூற்றாண்டில் காலோயிஸ் சமன்பாடு, காலோயிஸ் குழு சமன்பாடு, நுண் இயற்கணிதம், காலோயிஸ் தொடர்புகள், காலோயிஸ் கோட்பாடு எனக் குறிப்பிடப்பட்ட பல கணிதத் தீர்வுகளுக்கு இவரது ஆய்வுகள் அடித்தளம் அமைத்தன.

சில நேரங்களில் சிறுவயதில் அசாத்தியமான திறமைகளைக் கொண்ட குழந்தைகளை, திறமைசாலிகளாலும் கண்டுபிடிக்கமுடியாமல் போய்விடுகிறது. பாய்சான் போன்ற மாமேதைகளின் தவறுகளால் காலாய்ஸ் போன்ற மேதைகளின் வாழ்க்கை மலர முடியாமலேயே உதிர்ந்து விடுகின்றது.